p om och endast om p 
M. Vanligtvis är modellerna dock mera komplicerade än så här.Logiken är en vetenskap eller ett läroämne som studerar reglerna för riktiga slutledningar. Logiken är ett klassiskt filosofiskt ämnesområde. Aristoteles, som levde på 300-talet f.Kr., betraktas som logikens grundare. Med logik förstås i denna kurs uttryckligen deduktiv, formell logik. Denna typ av logik har viktiga tillämpningar inom informationsteknik. I själva verket motsvarar den formella logiken snarare datorers sätt att kalkylera än människors sätt att tänka. Lika väl förutsätter ett riktigt tänkande ofta att man följer vissa centrala logiska lagar. Den formella logiken står nära matematiken, men eftersom en logisk kalkyl betraktas som ett formellt språk, har logiken beröringspunkter även med språkvetenskap. Man talar t.ex. om logikens syntax och semantik. Vanliga språk så som svenska och engelska är dock väldigt mycket rikare än den formella logikens språk. Samtidigt är svenska satser ofta inexakta till skillnad från satser i logiken.
Enligt en modern definition är logik vetenskapen eller teorin om formella språk eller olika logiker. (Ordet logiker i denna betydelse uttalas med betoningen på i.) Vetenskapen om logiker kallas även metalogik. Denna kurs är inte bara en kurs i vissa logiker (satslogik, predikatlogik och modallogik), utan även en kurs i metalogik.
Liksom (påstående) satser i det naturliga språket kan uttrycka sakförhållanden i världen, uttrycker formella satser påståenden som antingen är sanna eller falska beroende på den värld som påståendena gäller. Vanliga svenska satser är inte alltid antingen sanna eller osanna, eftersom satser i naturliga språk ofta är både mångtydiga och kontextbundna (relaterade till ett sammanhang eller ett perspektiv). Satser i ett formellt språk (en viss logik) förväntas däremot i regel kategoriskt vara antingen sanna eller falska. Vad det betyder att en sats är sann eller falsk (eller ingendera) beror på vilken sanningsteori man utgår ifrån. I (meta)logik väljer man ofta korrespondensteorin, eftersom det är den sanningsteori som fungerar bäst. Korrenspondensteorin säger att en sats är sann om det sakförhållande som satsen uttalar råder i en bestämd värld. Världen som satsen säger någonting om behöver inte vara vår aktuella värld, utan kan vara en högst abstrakt värld eller modell.
I matematiken förstår man med sats det samma som teorem. Ett teorem är alltid sant och därtill bevisbart. Inom logik används benämningen sats i en betydelse som har mera gemensamt med satser i naturliga språk. I satslogiken, som är den enklaste formen av formell logik, delas satser in i atomära (enkla) och molekylära (sammansatta) satser. En atomär sats p är sann (i en bestämd värld) om och endast om det av satsen p uttryckta sakförhållandet råder (i den bestämda världen). Om de möjliga världarna representeras av modeller som är mängder och vars element utgörs av atomära satser, är den atomära satsen p sann i modellen M om och endast om p tillhör M. Detta kan med symboler uttryckas på följande sätt: M p om och endast om p M. Vanligtvis är modellerna dock mera komplicerade än så här.
Filosofiskt sett intressantare än sanningsdefinitionen ovan är definitionen på en sann sats eller ett sant påstående gällande vår aktuella värld. Satsen "det regnar" anses t.ex. vara sann om och endast om det regnar. Man kan fråga sig om vi här inte har en cirkeldefinition, så att man egentligen bara säger att satsen "det regnar" är sann om och endast om det är sant att det regnar, eller rent av att satsen "det regnar" (i objektspråket) är sann om och endast om satsen "det regnar" (i metaspråket) är sann. Åtminstone är det svårt att se vad man filosofiskt sett vinner på en dylik definition. Genom att flytta över problemet till metaspråket, d.v.s. det naturliga språket behöver vi dock inte bekymra oss över sanningsteoretiska problem i logiken. I själva verket klarar man sig bra i en grundkurs i logik utan att befatta sig med eller ens förstå sig på allmän sanningsteori. Eftersom detta är en kurs i filosofisk logik (till skillnad från matematisk logik) skall vi i alla fall filosofera vidare på möjligheterna att tillämpa logiken på vår reella värld och det naturliga språket. Logiken har trots allt relevans även utanför matematikens abstrakta värld.
Huruvida satsen "det regnar" är sann beror inte minst på var och när satsen uttalas. Sakförhållandet eller faktumet att det regnar har ändå en viss konkret manifestation i det fysiska rummet, men hur är det med sakförhållandet att det regnade igår? Det finns kanske dokumentation och spår kvar av ett regn, men det gör inte "sakförhållandet" att det regnade igår oproblematiskt. Än mera problematiskt är sakförhållandet att det kommer att regna i morgon. Om världen inte är deterministisk, så är ett sakförhållande som gör satsen "det regnar i morgon" sann mycket märkligt. Om det är ett sakförhållande att jag vid en viss tidpunkt kommer att sträcka upp handen, så förefaller jag att genom att inte sträcka upp handen vid denna tidpunkt kunna förändra det förflutnas sakförhållanden. Kanske har jag här t.o.m. uppfunnit en tidsmaskin genom vilken jag kan förändra det förflutna? Man har även ansett att satser som säger någonting om framtiden varken är sanna eller falska, utan är öppna. Trots denna problematik används satser i futurum ofta som exempel i läroböcker i sats- och predikatlogik.
Det kan här påpekas att (i svenska) samma ordform används i futurum som i presens. T.ex. satsen "Bilen startar" kan ha två betydelser: "bilen startar nu" och "bilen startar senare". Att bilen startar (nu) implicerar därför inte nödvändigtvis att bilen startar (senare) eller vice versa. Även satser i förfluten form är problematiska. I vanlig sats- och predikatlogik säger satser endast någonting om oföränderliga världar eller modeller. Satserna hävdar endast någonting om samtidiga händelser och fenomen, medan vår reella värld förändras över tiden och händelser äger rum i en tidsföljd. Hegelianer och marxister har på denna grund kritiserat den formella logiken. (Temporallogiken, som en del logiker betraktar som en variant av modallogik, kalkylerar även med förändringar av sakförhållanden.)
Problematisk är även frågan om förhållandet mellan en (påstående) sats och ett påstående eller en proposition. Logiken befattar sig bara med påstående satser, varför man med satser i logiken uttryckligen förstår propositioner. (I naturliga språk är satser inte alltid påstående satser, utan det finns även satser som uttrycker frågor och uppmaningar.) Man tänker sig dessutom att påståenden alltid uttrycks med hjälp av satser, men då utvidgar man betydelsen av ordet sats onaturligt långt. När en linjedomare sträcker upp handen påstår han kanske att bollen är över linjen, men han uttrycker inte nödvändigtvis en sats. En och samma proposition kan utryckas på flera olika sätt, med flera olika satser. Satserna som uttrycker samma proposition kan vara satser i olika (naturliga) språk. Satserna "Helsingfors är Finlands huvudstad" och "Helsinki is the capital of Finland" uttrycker samma proposition, nämligen påståendet att Helsingfors är Finlands huvudstad. Däremot kan satsen "Jag är Finlands president" uttrycka många olika propositioner beroende på vem som säger satsen. Framöver skall vi lika väl inte göra någon distinktion mellan sats och proposition. Det är klart att en fråga eller en uppmaning inte kan vara sann eller falsk i samma mening som ett påstående.
I klassisk logik (den typ av logik som behandlas i denna kurs) är en sats antingen sann eller falsk. Man talar även om sanningsfunktioner, som endast kan ha två värden eller sanningsvärden, alltså sann och falsk. Satser i det naturliga språket som uttalar sig om vår aktuella värld är inte alltid antingen sanna eller osanna. En anledning till detta är, så som ovan nämnts, att det naturliga språket är inexakt och kontextbundet, men det finns andra orsaker till att satser inte alltid behöver vara antingen sanna eller falska. Huruvida satser om framtiden är sanna avgörs ofta först i framtiden. Det förefaller som om det finns en motsvarande öppenhet i kvantfysiken. Det behöver varken vara sant eller falskt att en partikel befinner sig i en viss position vid en viss tidpunkt. Matematiskt sett kan satser som varken är sanna eller falska betraktas som odefinierade: de ingår inte i definitionsmängden för sanningsfunktionen.
I matematisk logik brukar man ersätta sanningsvärdena sann och falsk med 1 och 0. Om man använder sig av sanningsvärdena 0 och 1 kan de logiska konnektiverna ersättas med vanliga algebraiska operatorer. Detta tillämpas i Boolesk algebra. I en logisk krets i en dator motsvaras nollan av frånkopplad ström, medan ettan motsvaras av påkopplad ström (eller spänning). Man talar i detta sammanhang om switchar, som bildar AND-, OR- och NOT-grindar. Det finns flervärdeslogik där satser som varken är sanna eller falska har sanningsvärden mellan 1 och 0. Inom vanlig programering är jämförelser entydigt sanna eller falska; en jämförelse har antingen värdet true eller false.
Om man inte lär sig ett språk den naturliga vägen undervisas man vanligtvis på ett annat språk än det man försöker lära sig. T.ex. kan undervisningsspråket på en kurs i
engelska vara svenska, så att engelskans grammatik och uttryck undervisas på svenska. Svenska är då ett metaspråk medan engelskan är objektspråk. Logikens eller det formella språkets grammatik definieras med hjälp av metaspråket, som i denna kurs är svenska utvidgat med ett antal metalogiska konventioner och symboler. Logiska konnektiver i objektspråket (satslogiken och predikatlogiken) har sina motsvarigheter i metaspråket. För att inte förväxla metaspråkets konnektiver med objektspråkets konnektiver används dubbel pil (
, 
) för (logisk) implikation och ekvivalens i metaspråket och enkla pilar (
, 
) för (materiell) implikation respektive ekvivalens i objektspråket. För ekvivalens i metaspråket används även beteckningen omm, som är en förkortning av uttrycket om och endast om. Med sats- eller predikatlogikens språk kan man inte uttrycka att en sats är sann, falsk, logiskt sann (tautologisk) eller logiskt falsk.
Metaspråket (svenska) är jämfört med objektspråket (satslogik och predikatlogik) ett rikare språk. I gengäld är objektspråket ett exaktare språk. Satser i ett formellt språk är uttryckligen entydiga och exakta till skillnad från satser i naturliga språk, som ofta är mångtydiga och kontextberoende. Begreppen i naturliga språk kan inte definieras utan begrepp som ytterst faller tillbaka på vår intuitiva förståelse eller subjektiva erfarenhet av språket. Fastän definitioner av begrepp eller symboler i logiken baserar sig på metaspråket, kan förståelse av logiska begrepp hjälpa oss att tolka satser i naturliga språk så som svenska och finska. Med predikatlogik kan man t.ex. studera satser av typen "inte alla vet", "alla vet inte", "ingen vet" och "ingen vet inte". Oftast stämmer satsers grammatikaliska struktur överens med dess logiska struktur, men ibland skiljer sig satsers logiska struktur från dess grammatikaliska struktur. Vår användning av naturliga språk är inte alltid konsekvent. På engelska säger man t.ex. "I don't know nothing", när man vill betona att man inte vet någonting (alls), dvs att man ingenting vet. Då man översätter från ett språk till ett annat gäller det att bevara satsernas avsedda betydelse, ibland på bekostnad av den ordagranna betydelsen. En formalisering av satserna till logiska uttryck kan lika väl ibland hjälpa oss att finna satsernas korrekta betydelse och översättning.
För enkelhetens och begriplighetens skull gör vi i denna kurs inte alltid skillnad mellan objektspråk och metaspråk. Detta gäller speciellt vid formuleringen av välbildningsregler, härledningsregler och axiom.
Satslogik är det samma som propositionslogik. Satslogik studerar förhållandena mellan enkla och sammansatta satser (eller propositioner). Enkla eller atomära satser förenas i satslogiken till sammansatta eller molekylära satser med hjälp av konnektiven 
(inte), 
(och), 
(eller), (om ... så) och (om och endast om). Negationen är ett oegentligt konnektiv, eftersom det inte kan sammanbinda satser. Negationen av en atomär sats betraktas dock som en molekylär sats. I satslogiken kan atomära satsers innehåll och struktur inte analyseras. Sastlogikens alfabet eller
ordförråd består av logiska konnektiver, atomära satser (eller satsvariabler) samt parenteser.
De logiska konnektiven kan definieras med hjälp av satsers sanninigsvillkor t.ex. på följande sätt:
P är sann (i modellen M) omm P inte är sann (i modellen M). Q är sann omm både P och Q är sanna. Q är sann omm minst en av satserna P och Q är sanna (d.v.s. antingen P eller Q är sann eller både P och Q är sanna). Q är sann omm Q är sann eller P inte är sann (eller både P och Q är sanna eller varken P eller Q är sanna). Q är sann omm P och Q har samma sanningsvärde (d.v.s. både P och Q är sanna eller varken P eller Q är sanna).Om en sats inte är sann är den (i klassisk logik) falsk. Negationen av en sann sats är falsk, medan negationen av en falsk sats är sann i enlighet med definitionen av negation ovan.
P och Q står här för godtyckliga (enkla eller sammansatta) satser. Egentligen är de satsvariabler, som kan ersättas med vilka definierade satser som häelst. Då två satser P och Q förenas av ett konnektiv, utgör P och Q den sammansatta satsens vänstra respektive högra led. Uttrycket omm är liksom ovan nämnts en förkortning för om och endast om i metaspråket. Observera att även orden inte, eller och och här tillhör metaspråket. Betydelsen av dessa begrepp förväntas vara givna och därmed inte kräva någon definition, fastän åtminstone ordet eller är tvetydigt.
Konnektiven kan även definieras med hjälp av sanningsvärdetabeller. Ur sanningsvärdetabellerna framgår vilket värde en sats av de fem olika typerna (negation, konjunktion, disjunktion, implikation och ekvivalens) får beroende på satsledens (eller argumentens) sanningsvärden. Förutom att men med sanningsvärdetabeller kan definiera (grund)konnektiv, kan man med sanningsvärdetabeller undersöka vilka sanningsvärden en (mera komplicerad) sammansatt sats får för olika sanningsvärden för argumenten (de atomära satser som den sammansatta satsen består av). Om den sista kolumnen i en sanningsvärdetabell för en sats endast innehåller bokstaven s (för sann), är satsen logiskt sann. Innehåller kolumnen minst ett s är satsen satisfierbar, vilket betyder att man kan konstruera en modell av en värld där satsen är sann. Innehåller den sista kolumnen minst ett f, är satsen falsifierbar. Om den sista kolumnen innehåller så väl s som f är satsen kontingent. En kontingent sats är alltså både satisfierbar och falsifierbar. Om den sista kolumnen innehåller endast bokstaven f är satsen logiskt falsk eller kontradiktorisk.
Alla konnektiv behöver inte vara grundläggande konnektiv. Man kan t.ex. välja negation () och konjunktion () som grundläggande konnektiv. De övriga konnektiven kan då definieras på följande sätt:
Q df (P Q) Q df (P Q) Q df (P Q) (P Q)
Man kunde även välja negation () och disjunktion () som grundläggande konnektiv:
Q df (P Q) Q) df P Q Q) df (P Q) (P Q)Det metalogiska tecknet df kan utläsas "är enligt definition logiskt (eller semantiskt) ekvivalent med". Negationen () motsvarar ganska väl ordet inte i svenskan. Ett bättre uttal av negationstecknet i satsen P är "det är inte fallet att", i fall att P står för en vanligt sats i det naturliga språket, men annars är uttalat "inte" lämpligt. Det är inte odiskutabelt huruvida negationen av (den falska) satsen "Sveriges president är kvinna" utgörs av satsen "Sveriges president är inte kvinna". En korrektare översättning är "Det är inte fallet att Sveriges president är kvinna", som eventuellt är att betrakta som sann. Alternativt kan satserna betraktas som meningslösa eller odefinierade.
Även konjunktionen () motsvarar en vanlig användning av orden och och samt i svenska. Ordet och i svenska kan dock ha flera betydelser. I svenskan kan och t.ex. uttrycka en tidsföljd. I satslogiken gäller den kommutativa lagen, vilket betyder att P Q Q P. I svenska säger däremot satserna "de gifte sig och (de) fick barn" och "de fick barn och (de) gifte sig" inte exakt samma sak. Vissa enkla satser i svenskan kan tolkas som konjunktioner, då satsen innehåller ordet och. Exempelvis satsen "Kalle och Ville springer" kan omskrivas till "Kalle springer och Ville springer". Satsen "Kalle och Ville är bröder" kan däremot inte tolkas som en konjunktion, utan bör istället tolkas som en relation. Även satsen "Kalle och Ville spelar tennis [med varandra]" kan tolkas som en relation snarare än som en konjunktion. Relationer kan uttryckas i predikatlogiken men inte i satslogiken. För övrigt finns det i naturliga språk flera samordnande konjunktioner, så som men, ty och för. Vill man översätt dessa konnektiv till logiska konnektiv är det enda alternativet tillgängliga alternativet.
Disjunktionen () motsvarar svenskans eller i dess inklusiva betydelse, där satsen är sann även då båda leden samtidigt är sanna. Ibland kallas den ovan definierade disjunktionen även för inklusiv disjunktion. Man kan även definiera en exklusiv disjunktion som är falsk då båda leden samtidigt är sanna.
Implikationen (), som även kallas materiell implikation, motsvarar vissa användningar av bl.a. uttrycken "om... , (så)", "i fall..., (så)" och "endast om" i svenska språket. Satser av denna typ kallas för villkorssatser. En implikation är sann såvida vänstra ledet är falskt eller högra ledet är sant. Det behöver inte finnas något kausalt eller annat samband mellan förleden och efterleden för att en (materiell) implikation skall vara sann. Det betyder att enligt formell logisk tolkning följande satser är sanna, åtminstone i vår aktuella värld år 2004:
Om Åbo är Finlands huvudstad, så är Finland en republik.
Om Åbo är Finlands huvudstad, så är Finland en monarki.
Om Helsingfors är Finlands huvudstad, så är Sverige en monarki.
Denna tolkning av uttrycket "om... , så" har inte alltid ansetts motsvara den naturliga betydelsen i svenska. I svenska kan uttrycket även uttrycka en kausal följd, medan användningen ovan endast står för logisk eller semantisk följd. I läroböcker i logik brukar man ge exempel på ännu mera paradoxala sanna implikationer:
Om månen är en ost, så är alla människor lyckliga.
Om jag vore osynlig, skulle alla se mig.
Personligen uppfattar jag inte sanningen i den förstnämnda implikationen som paradoxal, men det kan bero på att jag sysslat för mycket med formell logik. Visst är det även sant att om månen är en ost, så heter jag James Bond! Angående den andra "implikationen" är min invändning att försatsen, d.v.s. vänstra ledet inte alls är en proposition (ett påstående) och den sammansatta satsen därför inte kan tolkas som en (materiell) implikation. Uttrycket "jag vore osynlig" säger ingenting i sig och kan därmed inte vara en falsk sats, vilket vissa författare låtit påskina. Det samma gäller satser av typen "om Esko Aho hade varit kvinna, så hade han valts till president". I denna villkorssats skall villkoret inte förväxlas med propositionen "Esko Aho hade varit kvinna", som säger att Aho (tidigare) varit kvinna [innan han blev man]. Satsen "Om jag är osynlig, ser alla mig" är däremot en sann implikation, såvida jag uttalar satsen i vår aktuella värld, där jag de facto inte är osynlig.
Satsen "Om P, så Q" kan omskrivas bl.a. till "Q, om P" och "P endast om Q". Om satsen P implicerar Q, d.v.s. om satsen "P Q" är sann, säger man att P är ett tillräckligt villkor för Q, medan Q är ett nödvändigt villkor för P.
Ekvivalensen () saknar egentligen direkt motsvarande ord i det naturliga språket. Uttrycket "om och endast om" ingår inte i normalt vardagsspråk. Ibland står satser av typen "Om P, så Q" i talspråket för implikation i båda riktningarna, d.v.s. just ekvivalens. I satsen "Om du är snäll, så får du godis." torde snällheten vara så väl ett nödvändigt som ett tillräckligt villkor för att få godis. Ekvivalens i satslogiken kallas även materiell ekvivalens.
En sats kan vara logiskt sann (logiskt giltig, valid, tautolog, analytisk, nödvändigt sann), logiskt falsk (kontradiktorisk) eller kontingent (satisfierbar och falsifierbar, syntetisk). Alla logiskt sanna satser är tautologa, varför en logiskt sann sats även kallas tautologi. Alla logiskt sanna satser är satisfierbara, medan alla logiskt falska satser är falsifierbara. En tautologi är sann i alla möjliga världar, medan en kontradiktion är falsk i alla möjliga världar. Negationen av en tautologi är en kontradiktion och negationen av en kontradiktion är en tautologi. Att satsen P är logiskt sann kan med symboler uttryckas på följande sätt: P. En kontingent eller syntetisk sats kan vara sann i en värld men falsk i en annan. Endast syntetiska (kontingenta) satser ger information om världen. Man säger att den logiska sanningens deskriptiva innehåll är tomt. Eftersom logiska sanningars, d.v.s. tautologiers deskriptiva innehåll alltid är tomt, har alla tautologier samma deskriptiva innehåll (d.v.s. inget innehåll alls). Tautologier kan med en gemensam symbol betecknas 
, medan kontradiktioner betecknas 
. Symbolerna, som kan betraktas som förkortningar, definieras på följande sätt:
df P P df P PLiksom det finns grammatikaliska regler för hur svenska satser får bildas, finns det välbildningsregler för hur satslogikens satser kan bildas. Atomära satser är (välbildade) satser (i satslogiken). Om P och Q är (välbildade) satser är följande teckenföljder (välbildade) satser:
(P) Q) Q) Q) Q)T.ex. om p och q är atomära satser, så är satsen ((p q) p) en välbildad sats enligt modell 4, eftersom (p q) är en välbildad sats enligt modell 2.
Liksom matematiska formler för entydighetens skull kan kräva parenteser, kan satser i satslogiken kräva parenteser, som visar i vilken ordningsföljd konnektiven opererar. Liksom vissa parenteser kan utelämnas ur matematiska formler, kan vissa parenteser utelämnas från satser i satslogiken enligt bestämda regler. Detta är visserligen en fråga om konvention, men vanligtvis följer man följande regler:
Man säger att negationen är det starkaste konnektivet. Konjunktion och disjunktion är sinsemellan lika starka, men starkare än implikation och ekvivalens. Om parentestecknen inte annat visar, så opererar det starkaste konnektivet först och det svagaste sist. Det konnektiv som opererar sist kallas satsens huvudkonnektiv. En sammansatt sats kan klassificeras enligt dess huvudkonnektiv, så att t.ex. en sats där konjunktionen () opererar sist kallas konjunktion.
Tautologier är logiskt sanna satser, vars sanningsvärde är oberoende av sanningsvärdena för satsens argument (de enkla satser som ingår i satsen). En tautolog sats är sann i alla möjliga världar eller modeller. Påståenden (i metaspråket) att vissa satser är logiskt sanna kallas logiska lagar. Om sanningsvärdetabellerna för satserna P och Q har samma sista kolumn, så förekommer det endast s i sanningsvärdetabellen för satsen "P Q", vilket betyder att ekvivalensen är en tautologi.
Om satsen "P Q" är tautolog och satsen P är längre eller mera komplicerad än satsen Q, så kan man förkorta satsen P så att man på dess ställe skriver satsen Q. Även om satsen Q är längre än satsen P kan man i en sammansatt sats där P ingår ersätta P med Q varvid man erhåller en ny sats med samma deskriptiva innehåll som den ursprungliga. Om den atomära satsen p ingår i en tautologi och man konsekvent byter ut p mot en godtycklig sats Q får man en ny tautologi. Ekvivalensen mellan två tautologier är alltid en tautologi. När man i detta fall byter ut p mot Q säger man att man substituerar p med Q. Från tautologin "p p" får vi på detta sätt med hjälp av substitution (p för p) den nya tautologin "p p".
Att satsen "P Q" är en tautologi kan vi i metaspråket uttrycka P
Q, vilket kan betraktas som en förkortning för utrycket {}
P Q, där {} står för den
tomma mängden (nollmängden). Att satsen "P Q" är en tautologi kan vi på motsvarande sätt uttrycka P Q. Det sistnämnda uttrycket säger även att satsen Q är en logisk följd (eller semantisk följd) av satsen P. Detta kan med hjälp av symboler
uttryckas på följande sätt:
{P}
Q eller kortare P Q.
Att satsen Pn logiskt (eller semantiskt) följer av satsmängden {P1, P2, ... Pn-2, Pn-1}
det vill säga att {P1, P2, ... Pn-2, Pn-1}
Pn betyder att satsen Pn är
sann i alla de modeller eller möjliga världar där satserna P1, P2, ... Pn-2
och Pn-1 är sanna. Att en sats P är sann i en bestämd
värd M kan uttryckas M
P.
En alternativ beteckning till P
Q är P Q, där tecknet står för logisk implikation. Att R logiskt följer av P och Q, det vill säga att P, Q
R, vilket är ett kortare sätt att skriva {P, Q} R, betyder enligt detta beteckninssätt att P Q
R. Att satsen "P Q" är en tautologi betyder att P Q. Om satsen "P Q" är en tautologi, så är även satserna "P Q" och "Q P" tautologier och tvärtom. Detta betyder att "P Q" är en tautologi omm P Q och Q P. Detta kan vi även skriva P Q är en tautologi omm P Q eller P Q omm P Q, varmed vi samtidigt definierar begreppet logisk ekvivalens () i metaspråket. Istället för logisk implikation och logisk ekvivalens används även benämningarna semantisk implikation och tautologisk implikation respektive semantisk ekvivalens och tautologisk ekvivalens.
Om R följer från Q och Q följer från P, så följer R från P. Vidare gäller att "Q R" följer ur P omm R följer från P och Q. Detta kan med symboler skrivas
{P}
Q R omm
{P, Q}
R. Mera allmänt gäller att P1, P2, ... Pn-2, Pn-1 Pn omm P1, P2, ... Pn-2 Pn-1 Pn. Ett specialfall av denna regel är regeln att Q följer från P omm "P Q" är en tautologi, eller uttryckt med symboler P Q omm P Q. Att en sats är tautolog betyder att den följer från en tom satsmängd eller vilken sats som helst.
En implikation som är en tautologi kan motsvaras av en härledningsregel. Således är t.ex. Modus ponens inte bara namnet på en
tautologi eller logisk lag, utan även namnet på en
logisk slutledning. Om P Q är en tautologi, så är även slutledningen "P, alltså Q"
giltig och vice versa. Man säger här att Q är härledbar från P. Detta kan med symboler skrivas
{P} 
Q eller kortare P Q. Allmänt kan man med P1, P2, ... Pn-1 Pn uttrycka att satsen Pn är härledbar ur satsföljden P1, P2, ... Pn-1. Enligt satslogikens fullständighetssats gäller det att P1, P2, ... Pn-1 Pn omm P1, P2, ... Pn-1 Pn, d.v.s. Pn är en logisk följd av satserna P1, P2, ... Pn-1 om och endast om Pn är härledbar ur satserna P1, P2, ... Pn-1. Speciellt gäller P omm P, d.v.s. P är en tautologi (en logisk sanning, logiskt giltig) om och endast om P är (syntaktiskt) bevisbar. En slutledning utan premisser (andra än axiom) kallas (syntaktiskt)
bevis. En (syntaktiskt) bevisbar sats kallas teorem. Att satsen P är ett teorem kan skrivas P. I enlighet med fullständighetssatsen gäller att en sats är en tautologi om och endast om den är ett teorem.
Om "P Q" är en tautologi, så kan vi från P sluta oss till Q. Detta är dock inte en självklarhet, utan
en följd av att fullständighetssatsen gäller för satslogiken. Ett deduktionssystem eller ett slutledningssystem godkänner
inte alla giltiga slutledningar som slutledningsregler. Antalet tautologa implikationer är oändligt, men vi kan inte ha ett regelsystem med ett obegränsat antal regler. I Hilberts bevisteori är endast slutledningsregeln Modus ponens tillåten. Där till används ett antal axiom, som inte bevisas, men som är tautologier och (semantiskt) kunde bevisas vara tautologier med hjälp av sanningsvärdetabeller. Hilberts bevisteori är ett axiomatiskt system, där alla teorem eller tautologier kan härledas från vissa bestämda axiom. Alla giltiga slutledningar kan alltså göras med tillämpning av en enda slutledningsregel. Axiomen kan däremot inte själva härledas från de (andra) axiom som ingår i systemet. I så kallad naturlig deduktion är flera slutledningsregler tillåtna. Istället behövs inte axiom. Ett naturligt slutledningssystem kan även innehålla slutledningsregler som härletts med tillämpning av andra slutledningsregler.
Tautologin Modus ponens kan uttryckas i schemat
(P Q) P Q,
där P och Q står för godtyckliga satser. Härledningsregeln Modus ponens kan
istället uttryckas på följande sätt: Om S1, S2, ... Sn
(P
Q) och S1, S2, ... Sn
P, så S1, S2, ... Sn
Q. Slutledningsregeln Modus ponens brukar även skrivas på följande sätt:
P Q
P
______
Q
Att en slutsats Q kan härledas från premisserna P1, P2, ... Pn betyder i ett axiomatiskt system att det finns en följd satser S1, S2, ... Sm, där varje Si är antingen
{P1, P2, ... Pn}, dvs Si är en
premiss,
Si, j < i och k < i ellerEtt bevis är en härledning utan premisser. Om slutsatsen Q är ett teorem finns det således en följd satser för vilka något av villkoren 2 eller 3 (men inte 1) gäller.
I naturlig deduktion kan de motsvarande satserna Si i härledeningen inte vara axiom, eftersom axiom inte ingår i systemet. Istället kan en sats Si följa av en eller flera tidigare satser i härledningen med tillämpning av även andra slutledningsregler än Modus ponens. Dessutom kan en sats Si i härledeningen vara ett hypotetiskt antagande.
I denna kurs skriver vi satserna Si i härledningen på olika
numrerade rader. För varje rad uppger vi vilket av de ovannämnda villkoren
satsen Si uppfyller. Om satsen Si följer från
tidigare satser (rader) anger vi vilken slutledningsregel vi tillämpat och på
vilken sats eller vilka satser vi tillämpat slutledningsregeln. Se exemplet
nedan, där satsen r
härleds från premisserna p
q, r
q
och p
med tillämpning av slutledningsreglerna Modus tollendo ponens (MTP),
negationens introduktionsregel (I)
och Modus tollendo tollens (MTT).
| 1. | p
q |
premiss |
| 2. | r
q |
premiss |
| 3. | p |
premiss |
| 4. | q | MTP, 1, 3 |
| 5. | q |
I,
4 |
| 6. | r |
MTT, 2, 5 |
Vi konstaterar ovan att "Q R" följer från P omm R följer från P och Q, vilket med symboler kan skrivas P Q R omm P, Q R. På basen av fullständighetssatsen kan vi därför hävda att P Q R omm P, Q R, d.v.s. Q R kan härledas ur P om och endast om R kan härledas ur P och Q. Mera allmänt gäller att P1, P2, ... Pn-2, Pn-1 Pn omm P1, P2, ... Pn-2 Pn-1 Pn. Ett specialfall av denna regel är att implikationen P Q är bevisbar om och endast om man ur P kan härleda Q, eller uttryckt med symboler P Q omm P Q. I praktiken används dessa regler för att härleda och bevisa implikationer. I det naturliga slutledningssystemet motsvarar den sistnämnda regeln regeln för villkorligt bevis.
Ett vanligt tillvägagångssätt då man skall härleda (eller bevisa) satser är att man antar negationen av den sats som man önskar härleda. Om man från negationen lyckas härleda en kontradiktion, har man indirekt härlett (eller bevisat) ifrågavarande sats.
Axiomatiska system tillämpas för teoretiska undersökningar, härledningar och bevis, medan naturlig deduktion används för mera praktiska härledningar. Logiska slutledningar är för övrigt alltid deduktiva. Det deskriptiva innehållet i slutsatserna är alltid mindre eller lika stort som det totala deskriptiva innehållet i premisserna. Genom deduktiva slutledningar kan man dock nå ny (analytisk) kunskap.
I satslogiken är slutledningen "Sokrates är dödlig" från premisserna "Alla människor är dödliga" och "Sokrates är en människa" inte giltig, men däremot är slutledningen giltig i predikatlogiken. Predikatlogiken är en utvidgning av satslogiken. Det mesta som gäller i satslogiken gäller även i predikatlogiken. En viktig skillnad är visserligen att man i predikatlogiken inte kan använda sanningsvärdetabeller. Principiellt sett är detta en väsentlig skillnad, då det i predikatlogiken saknas en mekanisk metod att avgöra om satser är sanna. Man talar här om oavgörbarhet. Betydelsen av de med sanningsvärdetabeller i satslogiken definierade konnektiven är dock de samma i predikatlogiken, även om de i princip bör definieras på nytt i predikatlogiken.
I predikatlogiken delas satser upp i subjekt och predikat (eller predikatformer). Mera tidsenliga begrepp för samma sak är individer (individkonstanter och -variabler) respektive satsscheman. Om p(x) står för predikatet "x är filosof" och a står för subjektet Sokrates, står p(a) för "Sokrates är filosof". Satsen "Alla är filosofer" kan enligt denna nyckel översättas till 
xp(x) och satsen "Någon är filosof" (eller "Det existerar minst en filosof") till 
xp(x). Formeln
p(x) är inte i sig en sats. Ett predikat eller en predikatform av typen p(x) är i sig ingen sats, såvida x står för en variabel, som här är
obunden. Ett satsschema av modellen p(x), där x är en obunden variabel, kallas även öppen sats, fastän det inte är en egentlig sats. Däremot är p(a) en sats, såvida a står för en konstant (eller en bestämd individ i ett universum). Även symbolföljderna xp(x) och xp(x) är satser, eftersom individvariabeln x här är bunden av universal- respektive existenskvantifikatorn.
Predikatlogikens alfabet består förutom av logiska konnektiv och parentestecken även av termer (individvariabler och -konstanter), predikat (eller predikatformer), alloperator (universaloperator) och existensoperator. Därtill kan predikatlogikens alfabet utökas med identitetssybol (
).
I fall antalet individer i ett samtalsdomän eller ett bestämt universum
U är ändligt gäller det att xp(x) p(c1) p(c2) ... p(cn), där n är antalet element i universumet
U. På motsvarande vis gäller xp(x) p(c1) p(c2) ... p(cn). Konstanterna c1, c2, ... cn står här för medlemmarna i universumet U, d.v.s. U = {c1, c2, ... cn}. Universal- och existensoperatorn måste dock definiera så att de gäller även för universum med oändligt många individelement. Vi definierar därför dessa operatorer med följande sanningsvillkor:
xp(x) är sann omm p(a) är sann för alla a U.xp(x) är sann omm p(a) är sann för något (minst ett) a U.I satslogiken gäller enligt de Morgans lag att (P Q) P Q och (P Q) (P Q). (Den dubbla ekvivalenspilen säger att satsen "(P Q) P Q" respektive "(P Q) (P Q)" är tautologier.) Dubbla negationens lag ger oss således ekvivalensen P Q (P Q). Genom av substitution av (Q
R) för Q erhåller vi sambandet P (Q R) (P (Q
R)), vilket genom omskrivning ger P Q R (P
(Q R)). Således gäller även P Q R (P Q R) och allmänt P1 P2 ... Pn (P1 P2 ... Pn). I predikatlogiken gäller därmed p(c1) p(c2) ... p(cn) (p(c1) p(c2) ... p(cn)), där n är ett godtyckligt naturligt tal. Såvida antalet individer i samtalsdomänet är ändligt innebär detta att xp(x) xp(x). I fall antalet individer i universumet är oändligt kan denna sats inte entydigt bevisas. Istället brukar man bestämma enligt definition att xp(x) xp(x). Därav följer även xp(x) xp(x), xp(x) xp(x) och xp(x) xp(x).
Om p(x) står för x är filosof kan satsen "Alla är filosofer"
översättas till xp(x),
"någon är filosof" till xp(x)
och "ingen är filosof" till xp(x)
eller xp(x).
Ifall man inte uttryckligen talar om människor är det absurt att säga att alla är filosofer. Om man inte uttryckligen begränsar samtalsdomänet till människor (eller syftar på ett universum vars samtliga individer är människor)
är det vettigare att säga t.ex. att alla mämmiskor är filosofer, vilket
visseligen inte är sant. Om p(x) står för att x är filosof och r(x) står för att x är människa
kan satsen "Alla människor är filosofer" skrivasx(r(x) p(x)).
Denna sats är logiskt ekvivalent med satserna x(r(x)
p(x)), x(r(x)
p(x))
och x(r(x) p(x)),
som ordagrant säger att det inte finns någon som är människa men inte
filosof.
Observera att satsen "Alla människor är filosofer" inte kan översättas med satsen
x(r(x)
p(x)), som istället säger att alla är människor och filosofer. Den korrekta översättningen är
alltså x(r(x) p(x)).
Satsen "Alla människor är filosofer" säger för övrigt samma
sak som satserna "Alla som är människor är filosofer" och satsen
"Alla är filosofer som är människor".
Predikatformer av modellen p(x) kallas enställiga. Det finns även två- och flerställiga predikatformer av modellen p(x,y) respektive p(x1,x2,...,xn). Satser i predikatlogiken kan alltså ha flera än ett subjekt (en individkonstant). T.ex. i satsen "Kalle och Ville är bröder" betraktas både Kalle och Ville som subjekt. Även i satsen "Kalle slår Ville" betraktas så väl Ville som Kalle som logiska subjekt, fastän Ville här är objekt enligt vanlig svensk grammatik.
Satsschemat "x slår y" representerar ett exempel på relationer av modellen xRy. Dylika tvåställiga relationer kan även skrivas R(x,y). Påståendet att ett ordnat par (a,b) tillhör en tvåställig relation R kan skrivas R(a,b). Detta påstående kan även betraktas som ett tvåställigt predikat. Relationer kan även vara treställiga, fyrställiga eller n-ställiga, där n är vilket naturligt tal som helst. Satsen "Mariehamn ligger mellan Åbo och Stockholm" kan tolkas som en treställig relation och kan till satslogiken översättas p(a,b,c), där p(x,y,z) står för y ligger mellan x och z, a står för Åbo, b står för Mariehamn och c står för Stockholm. Relationer kan i satslogiken även vara enställiga.
Om satsen eller predikatformen "x älskar y" betecknas med p(x,y), Göran med a och Anitra med b får vi fölnande översättningar:
xp(x,a)xp(a,x)xp(x,b)x(p(x,a)) p(x,b))x(p(x,b))
p(x,a))Slutledningar i predikatlogiken kan göras enligt samma regler som i satslogiken. I naturlig deduktion tillkommer intoduktions- och elimineringsregler för all- och existenskvantifikatorerna.
Med traditionell logik förstår man närmast det samma som Aristoteles logik och utveckling av denna. Den traditionella logiken handlar främst om rätta slutledningar. Dessa slutledningar går inte att göra med hjälp av satslogik, men däremot motsvaras de av slutledningar i predikatlogiken. Långt ifrån alla den traditionella logikens slutledningar är dock giltiga i predikatlogiken. De viktigaste typerna av satser i satslogiken är följande:
a Alla filosofer är människor.
e Ingen filosof är människa.
i Några filosofer är människor.
o Några filosofer är inte människor.
Typbeteckningarna a, e, i och o är av medeltida ursprung. Allmänt kan satserna ovan formuleras på följande sätt:
a Alla S är P.
e Ingen S är P.
i Några S är P.
o Några S är inte P.
Bokstäverna S och P representerar subjekt respektive predikat. De fyra formerna av satser kan ytterligare förkortas så att de lyder:
SaP
SeP
SiP
SoP
Om vi med s(x) betecknar att x är människa/S och med p(x) betecknar att x är filosof/P kan satserna ovan till predikatlogikens språk översättas så att de lyder:
x(s(x) p(x))
x(s(x) p(x))
x(s(x) p(x))
x(s(x) p(x))
Traditionell logik är inte nödvändigtvis det samma som klassisk logik. Med klassisk logik kan man även förstå modern logik som endast tillåter två sanningsvärden: sant och falskt.
Mängdlära lär man sig i matematiken, men även den moderna logiken bygger på mängdlära. Det finns ingen skarp gräns mellan matematisk och filosofisk logik eller mellan logik och matematik. I "suddig logik" (fuzzy logic) behöver mängdens extension inte vara entydig. Hur kan man bestämma omfånget av mängden av alla skalliga? Var skall man dra gränsen mellan att vara skallig och inte vara skallig? Ändå är skallighet jämfört med många andra begrepp ett relativt entydigt begrepp.
Satslogiken och isynnerhet predikatlogiken baserar sig på mängdlära, men mängdlära kan i sin tur baseras på sats- och predikatlogik. Exempelvis är individerna i ett samtalsdomän eller i ett "universum" element i en mängd. En mängd består alltid av element, med undantag av tomma mängden som saknar element.
Begrepp i mängdläran definieras med hjälp av logiska konnektiv:
A 
B x A x B B = {x|x A x B} A 
B x A x B B = {x|x A x B} 
A
x AA = {x|x 
A} AB x A x BB = {x|x A x B } 
x = x = {x|x = x
}
B x(x A x B)Vidare gäller A = B x(x A x B). Att x inte är ett ett element i mängden A kan även skrivas x A.
Med de ovannämnda översättningarna kan t.ex. De Morgans lagar, t.ex. (A B) = A B bevisas i mängdläran:
(A B)(x A B)(x A x B)x A x B A x B A BDe i avsnittet "Traditionell logik" nämnda satserna av den klassiska modellen kan även formuleras i termer av mängder. Låter vi S beteckna mängden av filosofer och P mängden av människor får vi följande satser:
S P
S P =
S P =
S P
Ett begrepp förväntas ha en intension (ett innehåll) och en extension (ett omfång). Extensionen kan anges med mängder. Exempelvis är extensionen av begreppet människa mängden av alla människor. Extensionen av begreppet flygande elefant är (i vår aktuella värld) identisk med extensionen av begreppet kentaur, nämligen nollmängden, men de två begreppen har olika intension. I skolastisk filosofi definieras begrepp enligt principen definito per genus proximum et differentiam specificam, eller på basen av det närmaste underliggande (allmännare) begreppet och det specifika innehållet. De egenskaper som gör att ett bestämt ting tillhör omfånget av ett visst begrepp kallas tingets väsen eller essens.
Matematiska och naturvetenskapliga begrepp kan vara entydiga, men ofta är begrepp högst mångtydiga eller diffusa. Hur många gråa hårstrån måste man ha för att vara gråhårig? I den s.k. klassiska logiken befattar man sig inte med begreppens mångtydighet eller luddighet. Men inte ens den "suddiga logiken" klarar av alla suddiga begrepp. Man kan vara mera eller mindre gråhårig och mera eller mindre skallig, men kan man vara mera eller mindre svensk? Vad har en etniskt afrikansk svensk medborgare bosatt i Sverige gemensamt med en svenskspråkig finländare bosatt i Finland? Jo båda är svenska. Ändå behöver de inte dela några gemensamma egenskaper som gör dem båda till svenskar. Den typiska svensken är svensk medborgare, bosatt i Sverige och har svenska som modersmål. Sedan finns det svenskar som delar bara en del av den typiska svenskens svenska egenskaper. Här kunde man kanske säga att det finns flera olika begrepp med namnet svensk, men det är inte så som det naturliga språket fungerar. Begrepp utvidgas än åt det ena hållet, än åt det andra. I verklig argumentation utvidgas ofta begrepp på retoriska grunder.
Modallogik studerar nödvändiga och möjliga sanningar, satser som inkluderar möjlighets- och nödvändighetsoperatorer. Att det är nödvändigt att en viss sats P är sann betyder att satsen P är sann i alla möjliga världar. Att det är möjligt att P är sann betyder att P är sann i minst en möjlig värld. Att det är nödvändigt att satsen P är sann skrivs 
P. Att det är möjligt att P är sann skrivs 
P. Istället för symbolerna och förekommer olika bokstäver, bl.a. N och M.
Att det inte är möjligt att P inte är sann är logiskt ekvivalent med att det är nödvändigt att P är sann. Detta kan med symboler skrivas P P. Att det inte är nödvändigt att P inte är sann är logiskt ekvivalent med att det är möjligt att P är sann. Detta skrivs med symboler P P. Av att det är nödvändigt att P är sann följer att det är möjligt att P är sann. Detta kan skrivas P P. Av att det inte är möjligt att P är sann följer att det inte heller är nödvändigt att P är sann. Detta skrivs igen P P. Ytterligare gäller det att om det är nödvändigt att P så är P även sann i en bestämd värld,
samt att om P är sann (i en bestämd värld) så är det även möjligt att P.
Detta kan skrivas P
P respektive P P.
Att det är möjligt eller nödvändigt att en sats P är sann kan betyda olika saker. Att P är nödvändigt kan betyda att P är logiskt nödvändig, vilket betyder att P är en tautologi, men nödvändig behöver inte betyda det samma som logiskt nödvändig. Att P är nödvändigt kan betyda att P är sann i alla möjliga världar, medan det att P är möjlig betyder att P är sann i någon (åtminstone en) möjlig värld. Det finns även olika innebörder av termen möjlig värld.
Till temporallogik kan satsen "det är nödvändigt att P" eventuellt översättas "det har alltid varit så att P och det kommer alltid att vara så att
P". Om P är en funktion av tiden t, kan de "det gäller alltid att
P" skrivas tP(t)
medan "det gäller någon gånng att P" kan skrivas tP(t). Vi får här följande samband mellan alltid och någon gång: tP(t) tP(t), tP(t) tP(t), tP(t) tP(t) och tP(t) tP(t).
Om t0 står för en aktuell tid gäller vidare tP(t)
P(t0) och P(t0) tP(t).
Till Innehåll (början av sidan)
Kursens startsida
